Chứng minh IK//BC biết tam giác ABC cân tại A có HI vuông góc AB tại I

a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = CH (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta IBH,\Delta KCH\) có :

\(\widehat{IBH}=\widehat{KCH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BH=CH\left(cmt\right)\)

\(\widehat{HIB}=\widehat{HKC}\left(=90^{^O}\right)\)

=> \(\Delta IBH=\Delta KCH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> HI = HK (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AIH,\Delta AKH\) có :

\(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}\left(=90^o\right)\)

\(AH:Chung\)

\(\widehat{IAH}=\widehat{KAH}\) (​\(\Delta ABH=\Delta ACH\))

=> \(\Delta AIH=\Delta AKH\) (Cạnh huyền - góc nhọn)

=> AI = AK (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AIK\) cân tại A.

Ta có : \(\widehat{AIK}=\widehat{AKI}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A(gt) có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AIK}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(IK//BC\rightarrowđpcm\)

​