Chứng minh IE=IF biết tam giác ABC có góc A=60 độ, tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I

a) Ta có :

\(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^o\\ \widehat{ABC}+60^o+\widehat{ACB}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

Mặt khác , \(\widehat{IBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC};\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}+\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\cdot120=60^o\)

Ta lại có :

\(\widehat{IBD}+\widehat{ICD}+\widehat{BIC}=180^o\\ hay:60^o+\widehat{BIC}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{BIC}=120^o\)

b) Kẻ ID là phân giác góc BIC

=> \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIC}=60^o\)

+) Ta có :

\(\widehat{BIC}+\widehat{FIC}=180^o\\ hay:120^o+\widehat{FIC}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{FIC}=60^o\\ \Rightarrow\widehat{FIC}=\widehat{I_2}=60^o\)

+) Xét ΔIDC và ΔIFC có :

\(\widehat{FIC}=\widehat{I_2}=60^o\)

CI chung

\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) ( CI là phân giác góc ACB )

=> ΔIDC = ΔIFC ( g.c.g )

=> ID = IF ( 2 cạnh tương ứng ) (*)

+) \(\widehat{FIC}=\widehat{EIB}\) ( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{EIB}=60^o\\ \Rightarrow\widehat{EIB}=\widehat{I_1}=60^o\)

+) Xét ΔBIE và ΔBID có :

\(\widehat{EIB}=\widehat{I_1}=60^o\)

BI chung

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) ( BI là phân giác góc ABC )

=> ΔBIE = ΔBID ( g.c.g )

=> ID = IE ( 2 cạnh tương ứng ) (**)

Từ (*) và (**) => IE = IF ( = ID )