Chứng minh HK song song với BC biết BH vuông góc với AD tại H, CK vuông góc với AE tại K

a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\) (kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (\(\Delta ABC\) cân )

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (c/m trên)

BD = CE (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAE}\)

hay \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H và \(\Delta ACK\) vuông tại K có:

AB = AC

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=CK\)

b) Đã c/m ở câu a.

c) Vì \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (câu b)

\(\Rightarrow AH=AK\)

\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AHK}+\widehat{AKH}+\widehat{DAE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Do \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (câu a)

\(\Rightarrow AD=AE\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\frac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\)

mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên HK // BC