Chứng minh HB=HC biết tam giác ABC cân tại A có AH vuông góc BC

Bài 4 :

a) Xét \(\Delta AHB,\Delta AHC\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^{^o}\right)\)

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

=> \(\Delta AHB=\Delta AHC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> HB= HC (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :

\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BH=CH\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BDH}=\widehat{CEH}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\) (cạnh huyền -góc nhọn)

=> DH = EH (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta HDE\) cân tại H.

c) Nếu \(\widehat{BAC}=120^o\) thì :

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^{^O}-120^o}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

Ta chứng minh được : \(\Delta ADE\) cân tại A

\(\Leftrightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-120^O}{2}=\dfrac{60^{^O}}{2}=30^{^O}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADE}+\widehat{BDH}+\widehat{HDE}\)

\(\Leftrightarrow180^{^O}=30^{^O}+90^{^O}+\widehat{HDE}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HDE}=60^o\)

=> \(\widehat{HDE}=\widehat{HED}=60^{^O}\)

=> Tam giác HDE là tam giác đều.

d) Ta có: \(\Delta ADE\) cân tại A

=> \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> BC // DE

=> đpcm.