Chứng minh góc DHE=90 độ biết tam giác ABC vuông cân tại A có H là trung điểm BC

Hình:

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC=HC\)

Suy ra tam giác HAC cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HCA}\) (1)

Lại có: Tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến

Suy ra AH đồng thời là đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HAD}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{HCA}=\widehat{HAD}\)

Xét tam giác ADH và tam giác CEH, có:

\(AD=CE\left(gt\right)\)

\(AH=HC\) (Tam giác HAC cân tại H)

\(\widehat{HCA}=\widehat{HAD}\) (Chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta ADH=\Delta CEH\left(c.g.c\right)\)

b) Có: \(\widehat{HEA}+\widehat{HEC}=180^0\) (Hai góc kề bù)

Mà \(\widehat{HEC}=\widehat{HDA}\) (\(\Delta ADH=\Delta CEH\))

\(\widehat{HEA}+\widehat{HDA}=180^0\)

Xét tứ giác ADHE, có:

\(\widehat{DAE}+\widehat{HEA}+\widehat{HDA}+\widehat{DHE}=360^0\) (Tổng các góc của tứ giác)

\(\Leftrightarrow90^0+180^0+\widehat{DHE}=360^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DHE}=360^0-180^0-90^0=90^0\)

Vậy ...