Chứng minh góc ABM=góc ACG biết tam giác ABC cân tại A có đường cao AH

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

AB =AC ( vì \(\Delta ABC\) cân tại A )

\(\Lambda AHB=\Lambda AHC=90^o\)

AH : cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\left(c.h-c.g.v\right)\)

\(\Rightarrow BH=CH\)( 2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\)H là trung điểm của BC

\(\Rightarrow HB=HC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H

Theo định lý Py-ta-go ta có :

\(AB^2=BH^2+AH^2\)

\(\Rightarrow5^2=3^2+AH^2\)

\(\Rightarrow AH^2=5^2-3^2=25-9=16\)(cm)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\) ( vì AH > 0)

Vậy BH =3cm và AH = 4cm

b)Kẻ 2 đường trung tuyến BD và CE cắt AC,AB lần lượt tại D và E.Chúng cắt nhau tại trọng tâm G của \(\Delta ABC\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao

\(\Rightarrow\) AH đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC.

Mà G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow G\in AH\)

\(\Rightarrow\) A , G , H thẳng hàng. (đpcm)

c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao

\(\Rightarrow\)AH đồng thời là đường phân giác của \(\Lambda BAC\)

\(\Rightarrow\Lambda BAH=\Lambda CAH\) hay \(\Lambda BAG=\Lambda CAG\)

Xét \(\Delta BAG\) và \(\Delta CAG\) có:

AB = AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

\(\Lambda BAG=\Lambda CAG\) (cmt)

AG : cạnh chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta BAG\)= \(\Delta CAG\) ( c.g.c)

\(\Rightarrow\)góc ABG = góc ACG ( 2 góc tương ứng ) ( đpcm)