Chứng minh EK=2MD biết đường thẳng qua D song song với AM cắt EM tại K

a) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có:

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(AM:Chung\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\) (*)

b) Xét \(\Delta BDM,\Delta CEM\) có :

\(\widehat{DBM}=\widehat{ECM}\) (Tam giác ACB cân tại A)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BDM}=\widehat{CEM}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta BDM=\Delta CEM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(DM=EC\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)

Xét \(\Delta ADM,\Delta AEM\) có :

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\left(=90^{^o}\right)\)

\(DM=CE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (từ *)

=> \(\Delta ADM=\Delta AEM\left(g.c.g\right)\)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Do đó : \(\Delta ADE\) cân tại A => đpcm

Xét \(\Delta ADE\) cân tại A có :

\(\widehat{ADE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A(gt) có :

\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^O-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

Do đó : \(DE//BC\left(đpcm\right)\)

c) Ta có : \(DM=EM\left(\Delta BDM=\Delta CEM-cmt\right)\) (3)

Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta CEM=\Delta KBM\)

Từ đó suy ra : KM = ME (2 cạnh tương ứng)

\(\Leftrightarrow EK=2EM\) (4)

Từ (3) và (4) => \(EK=2MD\)

=> đpcm.