Chứng minh ED song song với MN biết tam giác ABC cân ở A có các đường cao BD và CE

a) Xét \(\Delta BEC\) vuông tại E và \(\Delta CDB\) vuông tại D có:

BC chug

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta CDB\left(ch-gn\right)\)

b) Vì \(\Delta BEC=\Delta CDB\) (câu a)

\(\Rightarrow EC=DB\) ( 2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta AEC\) vuông tại E và \(\Delta ADB\) vuông tại D có:

AC = AB (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AEC=\Delta ADB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ABD}\)

Ta có: \(\widehat{ACB}-\widehat{ACE}=\widehat{ABC}-\widehat{ABD}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\)

Lại có: \(\widehat{NCB}+\widehat{ACB}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{MBC}+\widehat{ABC}=180^o\) (kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\)

Ta lại có: \(\widehat{BCE}+\widehat{NCB}=\widehat{CBD}+\widehat{MBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\)

Xét \(\Delta ECN\) và \(\Delta DBM\) có:

EC = DB (c/m trên)

\(\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\) (c/m trên)

CN = BM (gt)

\(\Rightarrow\Delta ECN=\Delta DBM\left(c.g.c\right)\)

c) Lại do \(\Delta ECN=\Delta DBM\) (câu b)

\(\Rightarrow CN=BM\)

Có: \(AB+BM=AC+CN\)

\(\Rightarrow AM=AN\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Áp dụng tc tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}+\widehat{MAN}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\left(1\right)\)

mà \(AD=AE\Rightarrow\Delta AED\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{MAN}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{AED}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ED // MN.