Chứng minh ED //MN biết tam giác ABC cân tại A có BD vuông góc AC tại D

a) Xét tam giác BEC và tam giác CDB ,có :

BC : chung

góc BEC = góc CDB ( = 90^o )

góc EBC = góc DCB ( gt )

=> tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

Vậy tam giác BEC = tam giác CDB ( ch - gn )

b) Xét tam giác AEC và tam giác ADB, có :

AC = AB ( gt )

góc A : chung

góc AEC = góc ADB ( = 90^o )

=> tam giác AEC = tam giác ADB ( ch - gn )

=> góc ACE = góc ABD ( hai góc tương ứng )

Ta có : góc ACE + góc ECN = 180^o ; góc ABD + góc DBM = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc ACE = góc ABD ( chứng minh trên ) => góc ECN = góc DBM

Xét tam giác ECN và tam giác DBM ,có :

CN = BM ( gt )

CE = BD ( tam giác BEC = tam giác CDB )

góc ECN = góc DBM (chứng minh trên )

=> tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

Vậy tam giác ECN = tam giác DBM ( c-g-c )

c) Vì tam giác AEC = tam giác ADB ( chứng minh trên ) => AE = AD ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác AED cân tại A ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác AED cân tại A => góc AED = góc ADE ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AED + góc ADE = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AED = góc ADE = 180^o - góc A / 2 ( 1 )

Ta có : AB + BM = AM ; AC + CN = AN mà AB = AC ; BM = CN ( gt ) => AM = AN => tam giác AMN cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A => góc AMN = góc ANM ( tính chất tam giác cân )

=> góc A + góc AMN + góc ANM = 180^o ( định lý tổng 3 góc trong một tam giác )

=> góc AMN = góc ANM = 180^o - góc A / 2 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc AED = góc AMN mà hai góc ở vị trí đồng vị nên ED // MN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

Vậ ED // MN ( đpcm )