Chứng minh định lý Pytago

Chứng minh bằng đại số

Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huyền c.^[1] Các tam giác bằng nhau có diện tích {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}, khi đó hình vuông nhỏ bên trong có cạnh là b − a và diện tích là (b − a)². Diện tích của hình vuông lớn là:

{\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.\,}

Vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích c², nên

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,}

Một cách chứng minh tương tự là sắp xếp 4 hình tam giác vuông trên xung quanh một hình vuông có cạnh là 'c (hình dưới).^[2] Kết quả tạo ra một hình vuông lớn hơn có cạnh là a + b và diện tích (a + b)². Tổng diện tích 4 tam giác và hình vuông có cạnh c bằng với diện tích của hình vuông lớn hơn,

{\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,\,}

ta có:

{\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.\,}

Một phương pháp chứng minh nữa do cựu tổng thống Mỹ James A. Garfield đưa ra.^[3][4] Thay vì sử xếp thành hình vuông, ông sử dụng hình thang, hình thang này có thể xây dựng từ hình vuông theo cách chứng minh thứ 2 ở trên bằng cách cắt thành 2 hình thang dọc theo đường chéo của hình vuông bên trong. Diện tích của hình thang bằng 1/2 diện tích của hình vuông lớn:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}

Hìng vuông bên trong tương tự cũng giảm đi 1/2, và chỉ có 2 tam giác khi đó các bước chứng minh có thể tính tương tự như trên trừ hệ số {\displaystyle {\frac {1}{2}}}, hệ số này đã bị loại ra bằng cách nhân 2 để thu được kết quả.

Chứng minh bằng vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Cách chứng minh này bằng cách thay đổi cạnh huyền và sử dụng vi tích phân.^[5][6][7]

Tam giác ABC là một tam giác vuông với BC là cạnh huyền. Chiều dài cạnh huyền là y, cạnh AC là x và cạnh AB là a.

Nếu x gia tăng một lượng dx bằng cách kéo dài đoạn AC về phía D, thì y cũng tăng một lượng là dy. Hai cạnh này cũng thuộc tam giác CDE, cũng là một tam giác tương tự ABC. Do đó các tỉ số cạnh của chúng phải bằng nhau:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}

Công thức trên có thể được viết lại như sau:

{\displaystyle y\cdot dy-x\cdot dx=0.\,}

Đây là hàm vi phân với đáp án giải ra là

{\displaystyle y^{2}-x^{2}=C,\,}

Và hằng số có C có thể tìm được bằng cách cho x = 0 thì y = a, ta được phương trình

{\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}\,}

Dùng hình mở rộng

Cho hình tam giác vuông ABC.Gọi 3 cạnh của tam giác ABC là a,b và c. Nếu c là cạnh huyền của tam giác vuông ABC thì: {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}