Chứng minh DH=DK biết DH vuông góc AB tại H và DK vuông góc AC tại K

a) Xét \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A, có:

AD là đường cao của cạnh BC

=> AD cũng là đường trung tuyến của cạnh BC

=> D là trung điểm của cạnh BC

Hay: BD = CD

b) Ta có: AD là đường cao của \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A

Nên: AD cũng là đường phân giác của \(\bigtriangleup ABC\)

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

Hay: \(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)

Xét \(\bigtriangleup AHD\) và \(\bigtriangleup AKD\):

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{AHD}=\widehat{AKD}=90^{\circ}(DH\perp AB,DK\perp AC) & & & \\ AD:chung & & & \\ \widehat{HAD}=\widehat{KAD}(cmt) & & & \end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\bigtriangleup AHD=\bigtriangleup AKD(ch-gn)\)

=> DH = DK

c) \(\bigtriangleup AHD=\bigtriangleup AKD(cmt)\)

=> AH = AK

=> \(\bigtriangleup AHK\) cân tại A

=> \(\widehat{AKH}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}\)

Mà: \(\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}\)

Nên: \(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\)

(nằm ở vị trí đồng vị)

=> HK // BC

d) Ta có: BD = DC = \(\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\) cm

Xét \(\bigtriangleup ADB\) vuông tại D (AD đường cao), ta có:

\(AD^2=AB^2-BD^2\left(Py-ta-go\right)\)

\(AD^2=10^2-6^2=64\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{64}=8cm\)