Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, AB=8cm

Ta có hình vẽ:

Bài giải:

a) Áp dụng định lý Pita go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow8^2+6^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=100\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

b) Xét △ABC và △ADC, có:

AC là cạnh chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^0\)

\(AB=AD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ADC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\\BC=DC\end{matrix}\right.\) (Các cặp cạnh và góc tương ứng)

Xét △BEC và △DEC, có:

\(\widehat{ECB}=\widehat{ECD}\) (Chứng minh trên)

\(BC=DC\) (Chứng minh trên)

EC là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta DEC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

c) Ta có: \(\Delta BEC=\Delta DEC\) (Câu b)

\(\Rightarrow BC=DC\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại C

Xét △BCD, có:

CA là đường cao ứng với đỉnh C

⇒ CA đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BCD (Tính chất đường đồng quy trong tam giác cân)

Mặt khác: Theo đề ra, ta có:

\(AE=2\left(cm\right);AC=6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow CE=AC-AE=6-2=4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow CE=\dfrac{2}{3}CA\)

Suy ra được điểm E là trọng tâm của tam giác BCD (Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác)

⇒ DE đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BCD ứng với cạnh BC

⇒ DE đi qua trung điểm của cạnh BC

\(\Rightarrowđpcm\)

Kết luận:

a) \(BC=10\left(cm\right)\)

b) \(\Delta BEC=\Delta DEC\left(c.g.c\right)\)

c) DE đi qua trung điểm của cạnh BC