Chứng minh BN=CM và tam giác IBC cân biết tam giác ABC cân tại A có 2 đường trung tuyến

Ta có hình vẽ:

a/ Ta có: AB = AC (t/g ABC cân tại A)

Ta có: AM = MB; AN = NC

(vì BN và CM là trung tuyến của t/g ABC)

=> AM = 1/2 AB và AN = 1/2 AC

Vì AB = AC nên AM = AN

Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

A: góc chung

AB = AC (GT)

AM = AN (cmt)

=> t/g ABN = t/g ACM

=> BN = CM

Ta có: tam giác ABN = tam giác ACM

=> góc ABN = góc ACM

Mà góc B = góc C (t/g ABC cân tại A)

=> góc IBC = góc ICB

Vậy t/g IBC cân tại I

b/ Ta có: tam giác IBC cân tại I (cmt)

=> IB = IC

Mà BN = CM (cmt)

=> BN - IB = CM - IC

hay IN = IM

Vậy điểm I cách đều hai cạnh AB và AC

c/ Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

AB = AC (GT)

AI: cạnh chung

BI = CI (cmt)

=> tam giác ABI = tam giác ACI

=> BAI = CAI

=> AI là pg của góc BAC

Mà tam giác ABC cân

có: AI là phân giác góc BAC

nên AI cũng là trung trực của BC

d/ Xét hai tam giác vuông ABK và ACK có:

AB = AC (GT)

AK: cạnh chung

=> tam giác ABK = tam giác ACK

=> góc BAK = góc CAK

Vậy AK là pg góc BAC

Ta có: AI là pg góc BAC

và AK là pg góc BAC

=> AI trùng AK

hay A;I;K thẳng hàng

e/ Ta có: t/g ABC cân tại A; góc A = 60⁰

=> t/g ABC đều

=> AB = AC = BC = 8cm

Gọi giao của AI và BC là D

Vì AI là pg của t/g ABC mà t/g ABC đều

=> AI cũng là trung tuyến của t/g ABC

=> BD = DC = 1/2. 8cm = 4cm

Ta có: tam giác ABC đều

AI hay AD là trung tuyến của tam giác

nên AI hay AD cũng là đường cao

Xét tam giác ABD vuông tại D có:

AB² = AD² + BD²

=> 8² = AD² + 4²

=> 64 = AD² + 16

=> AD² = 48

=> AD = \(4\sqrt{3}\) cm

Ta có: BN; CM; AD là trung tuyến của t/g ABC cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của tam giác

=> AI = 2/3 . AD

=> AI = 2/3 . \(4\sqrt{3}\) cm

=> AI = \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) cm.