Chứng minh BN+CM=BC biết tam giác ABC có góc A=60 độ, tia phân giác góc B cắt AC ở M

Giải :

Ta có : \(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = \(180^0\)

=> 60 + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = \(180^0\)

=> \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = \(180^0\) - \(60^0\)

=> \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) = \(120^0\)

Mà \(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) = \(\frac{1}{2}\)B ( gt )

\(\widehat{C_1}\) = \(\widehat{C_2}\) = \(\frac{1}{2}\)C ( gt )

=> \(\widehat{B_1}\) + \(\widehat{C_1}\) = \(\widehat{B}\) + \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{C}\) = \(\frac{1}{2}\) . (\(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\))

hay \(\widehat{B_1}\) + \(\widehat{C_1}\) = \(\frac{1}{2}\) . \(120^0\) = \(60^0\)

=> \(\widehat{BIC}\) = \(120^0\)

=> \(\widehat{BIN}\) = \(60^0\) => \(\widehat{CIM}\) = \(60^0\)

Kẻ ID là tia phân giác của \(\widehat{BIC}\)

=> \(\widehat{BID}\) = \(\widehat{CID}\) = \(60^0\)

Xét tam giác \(\widehat{BIN}\) và tam giác \(\widehat{BDI}\) :

có \(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) ( gt )

BI cạnh chung

\(\widehat{NIB}\) = \(\widehat{BID}\) = \(60^0\)

=> tam giác \(\widehat{BNI}\) = tam giác\(\widehat{BID}\) ( g-c-g )

=> BN = BD (1)

Tương tự : tam giác \(\widehat{INC}\) = \(\widehat{IDC}\) ( c-g-c )

=> CM = DC (2)

Từ (1) và (2) ta có :

BM + CN = BD + DC hay BM + CN = BC (đpcm)