Chứng minh BE và CF cắt nhau biết BE vuông góc AC, CF vuông góc AB

a)

Theo đề bài ta có :

\(BE\perp AC\\ CF\perp AB\)

\(\Rightarrow\Delta BFC\text{ vuông tại }F\\ \Delta CEB\text{ vuông tại }E\)

Xét \(\Delta BFC\):

\(\dfrac{BF}{3}=\dfrac{BC}{5}=k\\ \Rightarrow BF=3k,BC=5k\)

Theo định lý Py-ta-go ta có:

\(\left(3k\right)^2+8^2=\left(5k\right)^2\\ 9k^2+64=25k^2\\ 64=16k^2\\ k^2=4\\ k=2\\ BF=3k=3\cdot2=6\\ BC=5k=5\cdot2=10\)

Xét \(\Delta CEB\):

Theo định lý Py-ta-go đảo ta có:

\(CE^2+BE^2=CB^2\\ CE^2+8^2=10^2\\ CE^2+64=100\\ CE^2=36\\ CE=6\)

Xét \(\Delta BFC\text{ và }\Delta CEB\) có:

\(CE=BF\left(=6\right)\\ BE=CF\left(gt\right)\\ \text{Cạnh chung }BC\\ \Rightarrow\Delta BFC\text{ và }\Delta CEB\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\left(\text{góc tương ứng}\right)\)

Xét \(\Delta ABC\):

\(\widehat{ABC}=\widehat{FBC}=\widehat{ECB}=\widehat{ACB}\\ \Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Delta ABC\) có hai góc ở đáy bằng nhau

\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác cân

b) \(BC=10\left(cmt\right)\)

c) Vì \(BE\perp AC\\ CF\perp AB\) nên \(BE,CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\)

Mà trong một tam giác, 3 đường cao sẽ cắt nhau tại một điểm (trực tâm)

Vậy \(BE\text{ và }CF\) cắt nhau