Chứng minh BD vuông góc FC biết phân giác trong của góc B cắt AC tại D

a) Sửa đề câu a: so sánh DA và DE.

Xét \(\Delta\)ABD vuông tại A và \(\Delta\)EBD vuông tại E có:

BD chung

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) (BD là tia pg)

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (ch - gn)

=> AD = ED (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)ADF và \(\Delta\)EDC có:

AD = ED (c/m trên)

\(\widehat{DAF}\) = \(\widehat{DEF}\) (= 90^o)

\(\widehat{ADF}\) = \(\widehat{EDF}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta\)ADF = \(\Delta\)EDC (g.c.g)

=> DA = ED (2 cạnh t/ư)

b) Vì \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (câu a)
=> AB = EB (2 cạnh t/ư)

Do \(\Delta\)ADF = \(\Delta\)EDC (câu a)

=> AF = EC (2 cạnh t/ư)

Ta có: AB + AF = BF

EB + EC = BC

mà AB = EB; AF = EC => BF = BC

Xét \(\Delta\)BFD và \(\Delta\)BCD có:

BD chug

\(\widehat{FBD}\) = \(\widehat{CBD}\) (suy từ gt)

BF = BC (c/m trên)

=> \(\Delta\)BFD = \(\Delta\)BCD (c.g.c)

=> \(\widehat{BDF}\) = \(\widehat{BDC}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{BDF}\) + \(\widehat{BDC}\) = 180^o (kề bù)

=> \(\widehat{BDF}\) = \(\widehat{BDC}\) = 90^o

Do đó BD \(\perp\) FC

d) Gọi giao điểm của BD và AE là O

Lại do \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (câu a)

=> AB = EB (2 cạnh t/ư)

=> \(\Delta\)ABE cân tại B

=> \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{BEA}\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{BAE}\) + \(\widehat{BEA}\) + \(\widehat{FBC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{BAE}\) = 180^o - \(\widehat{ABE}\)

=> \(\widehat{BAE}\) = \(\frac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\) (1)

Lại vì \(\Delta\)BFD = \(\Delta\)BCD (câu b)

=> BF = BC (2 cạnh t/ư)

=> \(\Delta\)BFC cân tại B

=> \(\widehat{BFC}\) = \(\widehat{BCF}\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{BFC}\) + \(\widehat{BCF}\) + \(\widehat{FBC}\) = 180^o

=> 2\(\widehat{BFC}\) = 180^o - \(\widehat{FBC}\)

=> \(\widehat{BFC}\) = \(\frac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{BFC}\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AE // FC.