Chứng minh BC vuông góc với Ox biết D là hình chiếu của đỉnh A trên Oy

Hình vẽ:

Giải:

a)

Vì \(OA=OB\) (gt)

\(\Rightarrow\Delta OAB\) cân tại O

Mà OM là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\left(\widehat{xOy}\right)\)

\(\Leftrightarrow\) OM cũng là đường cao của \(\Delta OAB\) (Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác cân)

\(\Leftrightarrow OM\perp AB\) (đpcm)

b)

Có: OM là đường cao của \(\Delta OAB\) (chứng minh trên)

Và AD là đường cao xuất phát từ đỉnh A (theo giả thiết)

Mà OM cắt AD tại C

\(\Rightarrow\) C là trực tâm của \(\Delta OAB\)

\(\Leftrightarrow BC\perp OA\) (Tính chất các đường cao trong tam giác)

Hay \(BC\perp Ox\) (đpcm)

c)

Vì \(\Delta OAB\) là tam giác cân

mà \(\widehat{xOy}=60^0\) hay \(\widehat{AOB}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\Delta OAB\) là tam giác đều (Áp dụng dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Lại có: \(OA=OB=6cm\)

\(\Leftrightarrow OA=OB=AB=6cm\)

Mặt khác: OM là đường cao của \(\Delta OAB\)

\(\Rightarrow\) OM cũng là đường trung tuyến của \(\Delta OAB\) (Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác đều)

\(\Rightarrow\) M là trung điểm của cạnh AB

\(\Rightarrow AM=MB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Mà \(OM\perp AB\) (theo câu a)

\(\Rightarrow\Delta OMB\) là tam giác vuông

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OMB, ta có:

\(OB^2=OM^2+MB^2\)

\(\Rightarrow OM^2=OB^2-MB^2=6^2-3^2=27\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Có: \(\Delta OAB\) là tam giác đều

\(\Leftrightarrow\) C là trọng tâm của tam giác OAB (Tính chất các đường đồng quy trong tam giác đều)

\(\Rightarrow OC=\dfrac{2}{3}OM\) (Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác)

Hay \(\Rightarrow OC=\dfrac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Vậy \(OC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Chúc bạn học tốt!

P/s: Mình không chắc câu c) nhé! Mình nghĩ là mình làm sai rồi, các bạn khác giúp mình sửa lại nhé!