Chứng minh BC song song HK biết BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AE

a/ Vì Δ ABC cân tại A

=> góc ABC = góc ACB

mà góc ABC + góc ABD = 180^o (kề bù)

góc ACB + góc ACE = 180^o (kề bù)

=> góc ABD = góc ACE

Xét t/g ABD và t/g ACE có:

AB = AC (gt)

góc ABD = góc ACE (cmt)

BD = CE (gt)

=> Δ ABD =ΔACE (c.g.c)

=> góc ADB = góc AEC (2 góc tương ứng)

Xét 2 Δvuông:Δ BHD và Δ CKE có:

BD = CE (gt)

góc ADB = góc AEC (cmt)

=> Δ BHD = Δ CKE (cạnh huyền-góc nhọn)

=> BH = CK (đpcm)

b/ Xét 2 t/g vuông: Δ AHB và Δ AKC có:

AB = AC (gt)

BH = CK (ý a)

=>Δ AHB = Δ AKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)(đpcm)

c) Vì \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(câub\right)\)

=> AH = AK (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

=> \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\) (tính chất tam giác cân)

Ta có : \(\widehat{AHK}+\widehat{AKH}+\widehat{DAE}=180^o\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> \(\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Do \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (câu a)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)

Ta có : \(\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{DAE}=180^o\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)

=> \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

- Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}\right)\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(\text{BC // HK }\left(đpcm\right)\)