Chứng minh BC là đường trung trực của NQ biết HQ vuông góc với AB tại Q

a) Xét \(\Delta AHC,\Delta AHB\) có :

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (ΔABC cân tại A)

\(AB=AC\) (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta AHC=\Delta AHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét \(\Delta MCH,\Delta NBH\) có :

\(BH=CH\) (\(\Delta AHC=\Delta AHB\))

\(\widehat{BHN}=\widehat{CHM}\) (đối đỉnh)

\(HN=HM\left(gt\right)\)

=> \(\Delta MCH=\Delta NBH\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BN\perp MN\\AC\perp MN\end{matrix}\right.\)

=> \(BN//AC\)

c) Xét \(\Delta AQH,\Delta AMH\) có :

\(\widehat{QAH}=\widehat{MAH}\) (\(\Delta AHC=\Delta AHB\))

\(\widehat{AQH}=\widehat{AMH}\left(=90^o\right)\)

\(AH:Chung\)

=> \(\Delta AQH=\Delta AMH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> QH = MH (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BQH,\Delta BNH\) có :

\(BH:Chung\)

\(\widehat{BQH}=\widehat{BNH}\left(=90^o\right)\)

\(QH=NH\left(=MH\right)\)

=> \(\Delta BQH=\Delta BNH\left(c.g.c\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}BN=BQ\\\widehat{NBH}=\widehat{QBH}\end{matrix}\right.\)

=> BH là đường phân giác trong tam giác cân BQN

=> BH đồng thời là đường trung trực của NQ

Mà : \(BH\equiv BC\)

=> BC là đường trung trực của NQ (đpcm)