Chứng minh AM vuông góc với DE biết tam giác ABC có M là trung điểm của BC

a) Kẻ MN là tia đối của tia MA và MN = MA

Kéo dài AM cắt DE tại H

Xét \(\Delta\)AMC và \(\Delta\)NMB có:

AM = NM (cho ở trên)

\(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{NMB}\) (đối đỉnh)

MC = MB (suy từ gt)

=> \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB (c.g.c)

=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{NBM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BN

=> \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABN}\) = 180^o (trong cùng phía) (3)

Vì DA \(\perp\) AB nên \(\widehat{DAB}\) = 90^o;

EA \(\perp\) AC nên \(\widehat{EAC}\) = 90^o

Ta có: \(\widehat{DAH}\) + \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{BAN}\) = 180^o

=> \(\widehat{DAH}\) + 90^o + \(\widehat{BAN}\) = 180^o

=> \(\widehat{DAH}\) + \(\widehat{BAN}\) = 90^o (1)

Lại có: \(\widehat{EAH}\) + \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{CAN}\) = 180^o

=> \(\widehat{EAH}\) + 90^o + \(\widehat{CAN}\) = 180^o

=> \(\widehat{EAH}\) + \(\widehat{CAN}\) = 90^o (2)

Cộng vế (1) và (2) ta đc:

\(\widehat{DAH}\) + \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{EAH}\) + \(\widehat{CAN}\) = 90^o + 90^o

=> (\(\widehat{DAH}\) + \(\widehat{EAH}\)) +(\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{CAN}\)) = 180^o

=> \(\widehat{DAE}\) + \(\widehat{BAC}\) = 180^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{DAE}\) + \(\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{DAE}\)

Do \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB (c/m trên)

=> AC = NB (2 cạnh t/ư)

mà AC = AE (gt)

=> NB = AE

Xét \(\Delta\)ABN và \(\Delta\)DAE có:

AB = DA (gt)

\(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{DAE}\) (c/m trên)

NB = AE (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)DAE (c.g.c)

=> AN = DE 92 cạnh t/ư)

mà AM = \(\frac{1}{2}\) AN nên AM = \(\frac{1}{2}\) DE.