Chứng minh AM=1/2DE, AM vuông góc DE biết tam giác ABC có góc A nhọn và M là trung điểm BC

b) Kẻ MN là tia đối của tia MA và MA = MN

Kẻ OA là tia đối của AI

Ý 1: Xét \(\Delta\)AMC và \(\Delta\)NMB có:

AM = NM (cho ở trên)

\(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{NMB}\) (đối đỉnh)

MC = MB (suy từ gt)

=> \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB (c.g.c)

=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{NBM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BN

Ta được: \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{ABN}\) = 180^o (trong cùng phía) (3)

Ta có: \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{DAO}\) = 180^o

=> \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o (\(\widehat{DAB}\) = 90^o) (1)

\(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{EAO}\) = 180^o

=> \(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAO}\) = 90^o (\(\widehat{EAC}\) = 90^o) (2)

Cộng vế (1) và (2) ta được:

\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAO}\) = 90^o + 90^o

=> (\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{CAN}\)) + (\(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{EAO}\)) = 180^o

=> \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{ABN}\)

=> \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{ABN}\)

Do \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB => AC = NB

mà AC = AE => NB = AE

Xét \(\Delta\)ABN và \(\Delta\)DAE có:

AB = AD (câu a)

\(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{DAE}\) (c/m trên)

BN = AE (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)DAE (c.g.c)

=> AN = DE (2 cạnh tương ứng) (5)

mà AM = \(\frac{1}{2}\)AN (AM = MN \(\rightarrow\) M là trung điểm) (6)

Thay (5) vào (6) ta đc: AM = \(\frac{1}{2}\)DE \(\rightarrow\) đpcm

Ý 2: Ta có: \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o (7)

Lại do \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)DAE (c/m trên)

=> \(\widehat{BAN}\) = \(\widehat{ADE}\) (2 góc t/ư) (8)

Thay (8) vào (7) ta được:

\(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o hay \(\widehat{ADO}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ADO}\) + \(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{AOD}\) = 180^o

=> 90^o + \(\widehat{AOD}\) = 180^o

=> \(\widehat{AOD}\) = 90^o

Do đó AO \(\perp\) DE hay AM \(\perp\) DE \(\rightarrow\) đpcm