Chứng minh AI là đường trung trực của BC biết tam giác ABC có AB=AC, BD vuông góc AC

a, ΔBDC = ΔCEB:

Ta có: AB = AC (gt)

=> ΔABC cân tại A.

=> \(\widehat{B}_{12}=\widehat{C}_{12}\)

Xét ΔBDC và ΔCEB có:

+ \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}=90^o\) (BD ⊥ AC; CE ⊥ AB)

+ BC là cạnh chung.

+ \(\widehat{B_{12}}=\widehat{C_{12}}\left(cmt\right)\)

=> ΔBDC = ΔCEB (cạnh huyền - góc nhọn)

b, So sánh \(\widehat{IBE}\&\widehat{ICD}\):

Vì ΔBDC = ΔCEB (câu a)

=> \(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\) (2 góc tương ứng)

=> ΔIBC cân tại I.

=> IB = IC.

Xét ΔIBE và ΔICD có:

+ \(\widehat{E_1}=\widehat{D_1}=90^o\) (BD ⊥ AC; CE ⊥ AB)

+ IB = IC (cmt)

+ \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (đối đỉnh)

=> ΔIBE = ΔICD (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{IBE}=\widehat{ICD}\) (2 cạnh tương ứng)

c, AI là đường trung trực của BC:

Gọi K là giao điểm giữa 2 đoạn AI và BC.

Ta có: ΔIBE = ΔICD (câu b)

=> IE = ID (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAEI và ΔADI có:

+ IE = ID (cmt)

+ \(\widehat{E_2}=\widehat{D_2}\) (BD ⊥ AC; CE ⊥ AB)

+ AI là cạnh chung.

=> ΔAEI = ΔADI (c - g - c)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABK và ΔACK có:

+ AB = AC (gt)

+ \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (cmt)

+ AK là cạnh chung.

=> ΔABK = ΔACK (c - g - c)

=> BK = CK (2 cạnh tương ứng) [1]

=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{K_1}+\widehat{K_2}=180^o\) (kề bù)

=> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=90^o\) [2]

Từ [1] và [2] suy ra AI là đường trung trực của BC.