Chứng minh AH//KC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, phân giác BE

a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :

\(AH=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\))

\(BE:Chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^{^O}\) (2 góc tương ứng)

Do đó : \(EH\perp BC\left(đpcm\right)\)

b) Xét \(\Delta ABH\) có :

\(AB=BH\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABH\) cân tại B

Mà thấy : \(BE\) là phân giác của góc B (gt)

=> BE đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABH\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}AE=EH\\BE\perp AH\end{matrix}\right.\) (Tính chất đường trung trực)

Do đó : BE là đường trung trực của AH => đpcm

c) Ta chứng minh được : \(\Delta BEK=\Delta BEC\)

Suy ra : \(EK=EC\) (2 cạnh tương ứng)

d) Xét \(\Delta BAH\) cân tại A (cmt) có :

\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta BKC\) có :

\(BK=BC\left(\Delta BEK=\Delta BEC\right)\)

=> \(\Delta BKC\) cân tại B

Ta có : \(\widehat{BKC}=\widehat{BCK}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(AH//KC\left(đpcm\right)\)