Chứng minh AH // BD biết tam giác ABC vuông tại A có góc ABC=30 độ, tia phân giác góc C cắt AB tại E

Gọi giao điểm của CE và AH là I

Kéo dài tia CE cắt DB tại F

a) Xét tam giác CAE (\(\widehat{CAE}=90^o\)) và tam giác CHE (\(\widehat{CHE}=90^o\)) có

\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(gt\right)\)
CE : cạnh chung

=> tam giác CAE = tam giác CHE (cạnh huyền - góc nhọn)

=> CA = CH (2 cạnh tương ứng)
EA = EH (2 cạnh tương ứng)

b) Xét tam giác ADE \(\left(\widehat{DAE}=90^o\right)\) và tam giác HBE \(\left(\widehat{BHE}=90^o\right)\) có :

EA = EH (cmt)
\(\widehat{AED}=\widehat{HEB}\) (đối đỉnh)

=> tam giác ADE = tam giác HBE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

=> AD = HB (2 cạnh t/ứng)

c) Xét tam giác ABC vuông tại A (gt)

=> \(\widehat{C}+\widehat{ABC}=90^o\) (tính chất)

Mà \(\widehat{ABC}=30^o\left(gt\right)\) => \(\widehat{C}=60^o\)

Ta có : \(\left\{\begin{matrix}CA+AD=CD\\CH+HB=CB\end{matrix}\right.\)

Mà : CA = CH (cmt) ; AD = HB (cmt)

=> CD = CB

=> tam giác DBC cân tại C

Mà \(\widehat{C}=60^o\left(cmt\right)\) => tam giác DBC đều

Ta có : CA = CH (cmt)

=> tam giác AHC cân tại C

Mà \(\widehat{C}=60^o\left(cmt\right)\) => tam giác AHC đều

Vì CE là tia phân giác góc C => \(\widehat{C}_1=\widehat{C_2}=\frac{\widehat{C}}{2}=60^o:2=30^o\)

Mà \(\widehat{ABC}=30^o\) (gt) => tam giác EBC cân tại E

d) Xét tam giác ACI và tam giác HCI có:

CA = CH (cmt)
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(gt\right)\)
CI : cạnh chung

=> tam giác ACI = tam giác HCI (c.g.c)

=> \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (2 góc t/ứng)

Mà \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^o\) (kề bù) => \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=90^O\Rightarrow CI\perp AH\) (1)

Xét tam giác CDF và tam giác CBF có:

CD = CB (cmt)
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(gt\right)\)
CF : cạnh chung

=> tam giác CDF = tam giác CBF (c.g.c)

=> \(\widehat{ F_1}=\widehat{F_2}\) (2 góc t/ứng)

CM tương tự ta có : \(CF\perp DB\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\)AH // DB (từ vuông góc đến song song)