Chứng minh AE//HM biết tai AC cắt DE tại M và HA=HD, CE=CB

a) Xét \(\Delta ADE\) có :

\(HE\) là đường trung tuyến của \(AD\) ( HA=HD )(1)

Ta thấy \(HC=\dfrac{1}{2}BC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )

Mà BC = CE (gt )

\(\Rightarrow HC=\dfrac{1}{2}CE\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow C\) là trọng tâm của \(\Delta ADE\)

b) Hơi khó đấy :)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có :

\(HA\) chung

\(HB=HC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )

\(AB=AC\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

Do đó : \(\Delta AHB=\Delta AHC\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( hai góc tương ứng )

Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\) ( hai góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta HED\) có :

\(HE\) chung

\(HA=HD\) ( HE là đường trung tuyến của AD )

\(\widehat{AHE}=\widehat{DHE}\left(=90^o\right)\)

Do đó : \(\Delta AHE=\Delta DHE\) ( hai cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{DEH}\) ( góc tương ứng ) (*)

Vì C là trọng tâm của \(\Delta AED\) \(\Rightarrow AM\) là đường trung tuyến của DE )

\(\Rightarrow DM=ME\)

Xét \(\Delta HED\) vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

\(\Rightarrow HM=DM\) (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức \(HM=\dfrac{1}{2}DE\). Mà \(\dfrac{1}{2}DE=DM\)\(\Rightarrow HM=DM\)

Trở lại vào bài :

Mặt khác \(DM=ME\left(cmt\right)\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HM=ME\)

\(\Rightarrow\Delta HME\) cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{MEH}\)

Dễ thấy \(\widehat{MEH}=\widehat{HEA}\left(cmt\right)\) ở cái (*)

\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{HEA}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow HM\)//\(AE\) (đpcm)