Chứng minh AE=BC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, đường cao AH, trung tuyến AM

Áp dụng t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền được: \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Ta có: \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=BM=CM\)

mà \(AM=MD\Rightarrow AM=MD=BM=CM\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M và \(\Delta CMD\) cân tại M

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g vào:

_ \(\Delta AMB\) có: \(\widehat{ABM}=\dfrac{180^0-\widehat{AMB}}{2}\left(3\right)\)

_ \(\Delta CMD\) có: \(\widehat{MCD}=\dfrac{180^o-\widehat{CMD}}{2}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCD}\left(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\right)\) đối đỉnh

mà 2 góc này ở vị trí so le trog nên \(AB\) // CD

Lại có: \(\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^{^o}\) (trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^{^o}\)

Nối A với I.

Ta lại có: \(\widehat{ACI}+\widehat{EIC}=180^o\) (trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{EIC}=90^o\)

Do \(CI=CA\Rightarrow\Delta ACI\) cân tại C

\(\Rightarrow\widehat{CIA}=45^o\) (tổng 3 góc trog tg)

Khi đó: \(\widehat{AIE}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CIA}=\widehat{AIE}\) hay \(\widehat{DIA}=\widehat{EIA}\)

Vì \(AC\) // EI \(\Rightarrow\widehat{CAI}+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\)

\(\Rightarrow45^o+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\) (7)

AB // CD \(\Rightarrow\widehat{CIA}+\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180^o\)

\(\Rightarrow45^o+\widehat{IAD}+\widehat{BAD}=180^o\) (8)

Lại do AC // EI \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{AEI}\) (đồng vị) (5)

Có: \(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^o\)

\(\widehat{B}+\widehat{HCA}=90^o\)

Khi đó: \(\widehat{HAC}=\widehat{B}\)

mà \(\widehat{B}=\widehat{MAB}\) (\(\Delta AMB\) cân tại M)

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{MAB}\) (6)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{MAB}\)

hay \(\widehat{BAD}=\widehat{AEI}\) (9)

Từ (7); (8) và (9) \(\Rightarrow\) \(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\)

Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:

\(\widehat{EIA}=\widehat{DIA}\) (c/m trên)

AI chung

\(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta ADI\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AE=AD\) (*)

mà AM = MD = BM = CM (c/m trên)

\(\Rightarrow AM+MD=BM+CM\)

\(\Rightarrow AD=BC\) (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow AE=BC\). \(\rightarrowđpcm.\)

Bài này hay ghê!