YOMEDIA
NONE

Chứng minh AE=BC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, đường cao AH, trung tuyến AM

Cho tam giác ABC(góc A =90độ), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM=MA. Trên tia đối của tia CD lấy điểm I sao cho CI=CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt AH tại E. Chứng minh rằng : AE= BC.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Áp dụng t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền được: \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

    Ta có: \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\left(2\right)\)

    Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=BM=CM\)

    \(AM=MD\Rightarrow AM=MD=BM=CM\)

    \(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M và \(\Delta CMD\) cân tại M

    Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g vào:

    _ \(\Delta AMB\) có: \(\widehat{ABM}=\dfrac{180^0-\widehat{AMB}}{2}\left(3\right)\)

    _ \(\Delta CMD\) có: \(\widehat{MCD}=\dfrac{180^o-\widehat{CMD}}{2}\left(4\right)\)

    Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCD}\left(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\right)\) đối đỉnh

    mà 2 góc này ở vị trí so le trog nên \(AB\) // CD

    Lại có: \(\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^{^o}\) (trong cùng phía)

    \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^{^o}\)

    Nối A với I.

    Ta lại có: \(\widehat{ACI}+\widehat{EIC}=180^o\) (trong cùng phía)

    \(\Rightarrow\widehat{EIC}=90^o\)

    Do \(CI=CA\Rightarrow\Delta ACI\) cân tại C

    \(\Rightarrow\widehat{CIA}=45^o\) (tổng 3 góc trog tg)

    Khi đó: \(\widehat{AIE}=45^o\)

    \(\Rightarrow\widehat{CIA}=\widehat{AIE}\) hay \(\widehat{DIA}=\widehat{EIA}\)

    \(AC\) // EI \(\Rightarrow\widehat{CAI}+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\)

    \(\Rightarrow45^o+\widehat{IAE}+\widehat{AEI}=180^o\) (7)

    AB // CD \(\Rightarrow\widehat{CIA}+\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180^o\)

    \(\Rightarrow45^o+\widehat{IAD}+\widehat{BAD}=180^o\) (8)

    Lại do AC // EI \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{AEI}\) (đồng vị) (5)

    Có: \(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^o\)

    \(\widehat{B}+\widehat{HCA}=90^o\)

    Khi đó: \(\widehat{HAC}=\widehat{B}\)

    \(\widehat{B}=\widehat{MAB}\) (\(\Delta AMB\) cân tại M)

    \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{MAB}\) (6)

    Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{MAB}\)

    hay \(\widehat{BAD}=\widehat{AEI}\) (9)

    Từ (7); (8) và (9) \(\Rightarrow\) \(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\)

    Xét \(\Delta AEI\)\(\Delta ADI\) có:

    \(\widehat{EIA}=\widehat{DIA}\) (c/m trên)

    AI chung

    \(\widehat{IAE}=\widehat{IAD}\) (c/m trên)

    \(\Rightarrow\Delta AEI=\Delta ADI\left(g.c.g\right)\)

    \(\Rightarrow AE=AD\) (*)

    mà AM = MD = BM = CM (c/m trên)

    \(\Rightarrow AM+MD=BM+CM\)

    \(\Rightarrow AD=BC\) (**)

    Từ (*) và (**) \(\Rightarrow AE=BC\). \(\rightarrowđpcm.\)

    Bài này hay ghê!

      bởi Nguyễn Quỳnh Thoa 12/04/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF