Chứng minh AD là đường trung trực của MN biết DM vuông góc với AB, DN vuông góc A

a.

Gọi I là giao điểm của AD và MN

Ta có AD là đường cao của tam giác ABC cân tại A

=> AD vừa là đường phân giác và cũng là đường trung tuyến

Xét tam giác AMD vuông tại M và tam giác AND vuông tại N có:

AD cạnh chung

góc MAD = NAD ( AD là phân giác của góc BAC)

Do đó: \(\Delta AMD=\Delta AND\left(ch-gn\right)\)

=> MD = DN ( 2 cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác MDN cân tại D

Ta lại có: góc ADM = ADN ( \(\Delta AMD=\Delta AND\) )

=> DI là phân giác của góc MDN

Suy ra DI cũng là đường trung trực của tam giác MDN cân tại D

=> AD là đường trung trực của MN

b.

AD là đường trung tuyến của BC

=> BD = DC

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta CDE\) có:

BD = DC ( cmt)

góc BDM = CDE ( đối đỉnh)

DM = DE (gt)

Do đó: \(\Delta BDM=\Delta CDE\) ( c.g.c)

=> góc BMD = CED = 90^o

Do đó: DE vuông góc CE tại E

c.

\(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

Ta có tam giác BMD vuông tại M

=> BD² = BM² + MD²

=> MD² = BD² - BM²

=> MD² = 5² - 3²

=> MD = 4 (cm)

Ta có: ME = MD + DE

=> ME = 4 + 4 ( MD = DE)

=> ME = 8 (cm)