Chứng minh AB//NC biết các điểm E và F là trung điểm của các cạnh AB và AC

a) Xét \(\Delta AFB\) và \(\Delta CFN\) ta có :

FA = FC (gt) (1)

\(\widehat{AFB}=\widehat{CFN}\) (2 góc đối đỉnh) (2)

FB = FN (gt) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\Delta AFB=\Delta CFN\) (C_G_C) (4)

Từ (4) \(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{CNF}\) (2 góc tương ứng)

và đây là cặp góc so le trong

nên AB // NC

Xét \(\Delta EBM\) và \(\Delta EAC\) ta có:

EA = EB (gt) (5)

\(\widehat{BEM}=\widehat{AEC}\) (2 góc đối đỉnh) (6)

EM = EC (gt) (7)

Từ (5), (6), (7) \(\Rightarrow\Delta EBM=\Delta EAC\) (C_G_C) (8)

Từ (8) \(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{EAC}\) (2 góc tương ứng)

và đây là cặp góc so le trong

\(\Rightarrow AC\) // MB

b) Ta có: \(\widehat{MEA}=\widehat{CEB}\) (2 góc đối đỉnh) (9)

Từ (5), (7), (9) \(\Rightarrow\) \(\Delta AEM=\Delta BEC\) (C_G_C) (10)

Ta lại có: \(\widehat{AFN}=\widehat{CFB}\) (2 góc đối đỉnh) (11)

Từ (1), (3), (11) \(\Rightarrow\Delta AFN=\Delta CFB\) (C_G_C) (12)

c) Từ (10) \(\Rightarrow\widehat{MAE}=\widehat{CBE}\) (2 góc tương ứng)

và đây là cặp góc so le trong

\(\Rightarrow MA\)// BC (13)

Từ (12) \(\Rightarrow\widehat{NAF}=\widehat{BCF}\) (2 góc tương ứng)

và đây là cặp góc so le trong

\(\Rightarrow AN\)// BC (14)

Từ (13), (14) \(\Rightarrow\) ba điểm M, A, N thẳng hàng

d) Từ (10) \(\Rightarrow MA=BC\) (2 cạnh tương ứng) (15)

Từ (12) \(\Rightarrow\) AN = BC (2 cạnh tương ứng) (16)

Từ (15), (16) \(\Rightarrow MA=AN\)

e) Vì MA = AN nên A là trung điểm của MN