Chứng minh AB=AC và tam giác OBC cân biết Ot là tia phân giác của xOy

a. Vì \(AB\perp Ox\Rightarrow\widehat{OBA}=\widehat{ABM}=90^o\)

\(AC\perp Oy\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{ACN}=90^o\)

Ot là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\Rightarrow\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)

Xét △ OAB và △ OAC có :

\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^o\)(cmt)

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) (cmt)

OA chung

=> △ OAB = △ OAC ( cạnh huyền- góc nhọn)

=> AB = AC ( 2 cạnh tương ứng )

Vì △OAB = △OAC (cmt)

=> OB = OC ( 2 cạnh tương ứng)

=> △ OBC cân tại O

b. Xét △ACN và △ABM có :

\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}=90^o\) (cmt)

AB = AC ( cmt )

\(\widehat{CAN}=\widehat{BAM}\) ( đối đỉnh )

=> △ACN = △ABM ( cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

=> AN = AM ; CN = BM ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có :

\(\begin{matrix}OB=OC\\BM=CN\end{matrix}\Rightarrow OB+BM=OC+CN\)

=> ON = OM

c. Xét △OHM và △OHN có :

OM = ON (cmt)

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) (cmt)

OH chung

=> △OHM = △OHN (c-g-c)

d. Vì △OHM = △OHN (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow2\widehat{H_1}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{H_1}=180^o:2=90^o\)

\(\Rightarrow OH\perp MN\)

e. Vì △OHM = △OHN (cmt)

=> HM = HN ( 2 cạnh tương ứng )

Xét △AHM và △AHN có :

\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\) (cmt)

HM = HN (cmt)

AH chung

=> △AHM = △AHN ( 2 cạnh góc vuông )

=> \(\widehat{NAH}=\widehat{MAH}\) ( 2 góc tương ứng )

=> AH là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)