Chứng minh AB+AC < = 2BC biết tam giác ABC có góc BAC > = 60 độ

TH1: BAC = 60 độ

Vẽ tia phân giác Ax của góc BAC. Từ B, C hạ 2 đường vuông góc BH, CK xuống Ax

Gọi I là giao điểm của BC và Ax

Ta có Ax là tia phân giác của góc BAC

=> Bax = xAC = BAC/2 = 60 độ/2 = 30 độ

Xét tam giác BAH có BAH = 30 độ

=> BH = 1/2 AB => 2BH = AB(1)

Xét tam giác CAK có CAK = 30 độ

=> CK = 1/2 AC => 2CK = AC (2)

Lại có BH nhỏ hơn hoặc bằng BI (theo quan hệ đường xiên hình chiếu)

=> 2BH nhỏ hơn hoặc bằng 2BI

=> AB nhỏ hơn hoặc bằng 2BI (1)

CK nhỏ hơn hoặc bằng CI (theo quan hệ đường xiên hình chiếu)

=> 2CK nhỏ hơn hoặc bằng 2CI

=> AC nhỏ hơn hoặc bằng 2CI (2)

Từ (1) + (2) => AB + AC nhỏ hơn hoặc bằng 2(BI + CI)

Mà BI + CI = BC (I nằm giữa B và C)

=> AB + AC nhỏ hơn hoặc bằng 2BC (I)

TH2 BAC > 60 độ

Vẽ tia AD sao cho BAD = 60 độ

Tương tự TH1 ta có AB + AD nhỏ hơn hoặc bằng 2BD (3)

Xét tam giác DAC có AC - AD < DC (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà DC < 2DC => AC - AD < 2DC (4)

Từ (3) + (4) => AB + AD + AC - AD < 2(BD + DC)

Mà BD + DC = BC ( D nằm giữa B và C)

=> AB + AC < 2 BC (II)

Từ (I) + (II) => ĐPCM

Tớ làm tắt như vậy thôi, còn với trí thông minh của c thì tự hiều nha