Chứng minh A, I, D thẳng hàng biết tam giác ABC cân tại A có BH, CK vuông AC, AB

a) Xét \(\Delta KBC,\Delta HCB\) có :

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BC : Chung

\(\widehat{BKC}=\widehat{CHB}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta KBC=\Delta HCB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = CK (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACK\) có :

\(\widehat{A}:Chung\)

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta ABH=\Delta ACK\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta KIB,\Delta HIC\) có :

\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\) (\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\))

\(BK=CH\) (\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\))

\(\widehat{BKI}=\widehat{CHI}\left(=90^o\right)\)

=> \(\Delta KIB=\Delta HIC\left(g.c.g\right)\)

=> \(IH=IK\) (2 cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AIB,\Delta AIC\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(AI:Chung\)

\(BI=CI\) (\(\Delta KIB=\Delta HIC\))

=> \(\Delta AIB=\Delta AIC\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (2 cạnh tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (1)

Xét \(\Delta ABD,\Delta ACD\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\left(=90^o\right)\)

\(AD:chung\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (2 góc tương ứng)

=> AD là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(AI\equiv AD\)

=> A, I, D thẳng hàng.

=> đpcm.