Chứng minh 3 điểm K, H, I thẳng hàng biết H là giao điểm của BD và CF

a) Theo định lí Pytago, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

=> AC2 = BC2 - AB2

=> AC2 = 102 - 62

=> AC2 = 64

Vậy AC = 8

Mà AD + CD = AC

=> CD = AC - AD

=> CD = 8 - 3 = 5

b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông EBD, ta có:

BD: chung

góc ABD = góc EBD ( vì BD là tia phân giác của góc ABE)

Do đó: tam giác ABD = tam giác EBD (cạnh huyền.góc nhọn)

=> AB = BE (2 cạnh tương ứng)

Hay tam giác BAE cân tại B

c) Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất

nên DF > AD

mà AD = DE ( vì tam giác ABD = tam giác EBD)

Vậy DF > DE

d) Tam giác BCF có CA và EF là 2 đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác BCF

=> BH song song với CF

Mà BH là đường phân giác của BAC

=> tam giác BCF cân tại B

=> BH là đường trung tuyến

Xét tam giác CFK có:

CD là trung tuyến ( vì DK = DF nên D là trung tâm của FK)

CI=23⋅CDCI=23⋅CD (vì CI = 2DI nên CICD=CICI+DI=2DI2DI+DI=2DI3DI=23CICD=CICI+DI=2DI2DI+DI=2DI3DI=23 )

=> I là trọng tâm của tam giác CFK

=> KI đi qua trung điểm CF

mà H là trung điểm của CF (vì BH là đường trung tuyến)

Vậy K,I,H thẳng hàng