Chứng minh 3 điểm F,D,E thẳng hàng biết trên tia AB lấy điểm F sao cho AF=AC

a) Xét \(\Delta AFD;\Delta ADC\) có :

\(AF=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{FAD}=\widehat{CAD}\left(gt\right)\)

\(AD:chung\)

=> \(\Delta AFD=\Delta ADC\left(c.g.c\right)\)

=> \(FD=DE\) ( 2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{AFD}=\widehat{ACD}\) ( 2 góc tương ứng)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AE\left(gt\right)\\AF=AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AF=AB+FB\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)

=> \(FB=EC\)

Xét \(\Delta BDF;\Delta EDC\) có :

\(FB=EC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{BFD}=\widehat{ECD}\) (do \(\widehat{AFD}=\widehat{ACD}\) -cmt)

\(FD=CD\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(c.g.c\right)\)

c) Từ \(\Delta BDF=\Delta EDC\left(cmt\right)\)

=> \(FD=DE\) ( 2 cạnh tương ứng)

=> D là trung điểm của EF

Do đó : F, D, E thẳng hàng (đpcm)

d) Xét \(\Delta AFC\) có :

\(AF=AC\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AFC\) cân tại A

Mà có : AD là tia phân giác của \(\widehat{CAF}\)(gt)

=> AD đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta AFC\)

Hay : \(AD\perp FC\left(đpcm\right)\)