Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm \(A(3;5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\). Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\).

Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi \(M(x;y)\) bất kì thuộc d, \(M' = T_{\vec{v}}(M) =(x'; y')\) nên M' thuộc d'.

Khi đó 

\(M' = T_{\vec{v}}(M)\) \(⇔  \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 \) \(⇔ x' -2y' +8=0 \)

\(⇔ M' ∈ d'\) có phương trình \(x-2y+8=0\).

Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d':\,\, x-2y+8=0\)

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\).

Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\).

Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó gọi \(B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right) \in d'\)

\( \Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,x - 2y + 8 = 0\).