YOMEDIA
NONE

Thực hiện tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • can chu

    Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0{\rm{    }}\left( 1 \right)\)

    Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)

    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \Delta > 0\\
    S > 0\\
    P > 0
    \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
    3m + 5 > 0\\
    {\left( {m + 1} \right)^2} > 0
    \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    9{m^2} + 30m + 25 - 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
    m > - \frac{5}{3}\\
    m \ne - 1
    \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
    m > - \frac{5}{3}\\
    m \ne - 1
    \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m > - \frac{7}{5};m < - 3\\
    m > - \frac{5}{3}\\
    m \ne - 1
    \end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m > - \frac{7}{5}\\
    m \ne - 1
    \end{array} \right.\)

    Bốn nghiệm đó là \( - \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)

    Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}}  - \sqrt {{y_1}}  = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\,\,\left( 2 \right)\)

    Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5\,\,\left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

    Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\( \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)

    Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:

    \(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 =  - \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 =  - 10m - 10\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m =  - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)

    Vậy \(m = 5\) và \(m =  - \dfrac{{25}}{{19}}.\)

      bởi can chu 18/04/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON