ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Chứng minh U_1+U_2+...+U_2010 < 1005/1006

Cho dãy số (Un) xác định như sau: \(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right).Un=\dfrac{2}{2n+1},n=1,2,3...\)

Chứng minh rằng \(U_1+U_2+...+U_{2010}< \dfrac{1005}{1006}\)

Theo dõi Vi phạm
VDO.AI

Trả lời (2)

 
 
 
  • Lời giải:

    Ta có:

    \((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})U_n=\frac{2}{2n+1}\)

    \(\Rightarrow U_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2n+1}\)

    \(=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)+n}<\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2\sqrt{n(n+1)}}\) (áp dụng bđt am-gm thì \((n+1)+n\geq 2\sqrt{n(n+1)}\), dấu bằng không xảy ra vì \(n\neq n+1\))

    hay \(U_n< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

    Do đó:
    \(U_1+U_2+...+U_{2010}< \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}\)

    \(\Leftrightarrow U_1+U_2+..+U_{2010}< 1-\frac{1}{\sqrt{2011}}< \frac{1005}{1006}\)

    Ta có đpcm.

      bởi Hoàng Thi 29/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
AMBIENT

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

MGID

Các câu hỏi mới

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 809_1633914298.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)