Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) biết phương trình các cạnh \(AB: 3x+4y-6=0 ;\) \(AC: 4x+3y-1=0 ;\) \(BC: y=0.\)

Tọa độ cũa \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.\).

Giải hệ ta có \(A=(-2 ; 3).\)

Tương tự, ta tính được \(B(2 ; 0),\) \(C\left( { \dfrac{1}{4} ; 0} \right)\).

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là

\( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} =  \pm  \dfrac{{4x + 3y - 1}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\    \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}x - y + 5 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x + y - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2).\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(B, C\) vào vế trái của (1), ta được: \(2+5=7>0;\) \( \dfrac{1}{4} + 5 > 0\). Vậy (2) là phương trình đường phân giác trong của góc \(A\).

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) là

\( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{5} =  \pm y \)

\(    \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\x + 3y - 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(A, C\) vào vế trái của (4), ta được \(-2+3.3-2=5 > 0,\) \( \dfrac{1}{4} - 2 =  -  \dfrac{7}{4} < 0\). Vậy (4) là phương trình đường phân giác trong của góc \(B\).

Gọi \(I(x,y)\) và \(r\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp  tam giác \(ABC\). Khi đó tọa độ của \(I\) là  nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.     \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{1}{2}\\y =  \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow     I = \left( { \dfrac{1}{2} ;  \dfrac{1}{2}} \right)\).

\(r = d(I ; BC) =  \dfrac{1}{2}\). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là:

\({\left( {x -  \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y -  \dfrac{1}{2}} \right)^2} =  \dfrac{1}{4}\)