Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm)

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1), bán kính R = 3. Do \(M\in d\) nên M(a;1-a)
Do M nằm ngoài (C) nên \(IM> R\Leftrightarrow IM^2> 9\Leftrightarrow (a+2)^2+(-a)^2> 9\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+4a-5> 0 (*)\)
Ta có \(MA^2=MB^2=IM^2-IA^2=(a+2)^2+(-a)^2-9=2a^2+4a-5\)
Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình: \((x-a)^2+(y+a-1)^2=2a^2+4a-5\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^-2ax+2(a-1)y-6a+6=0 \ (1)\)
Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+4x-2y-4=0 \ \ \ (2)\)
Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được \((a+2)x-ay+3a-5=0(3)\)
Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, B.
+) Do (E) tiếp xúc với \(\Delta\) nên (E) có bán kính R₁=d(E,\(\Delta\))
Chu vi của (E) lớn nhất ⇔ R₁ lớn nhất ⇔ d(E,\(\Delta\)) lớn nhất
Nhận thấy đường thẳng \(\Delta\) luôn đi qua điểm \(K\left (\frac{5}{2};\frac{11}{2} \right )\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên \(\Delta\) \(\Rightarrow d(E,\Delta )=EH\leq EK=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(H=K\Leftrightarrow \Delta \perp EK\)
Ta có \(\overrightarrow{EK}=\left ( -\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right ), \Delta\)có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;a+2)\)
Do đó \(\Delta \perp EK\Leftrightarrow \overrightarrow{EK}.\vec{u}=0\Leftrightarrow -\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}(a+2)=0\Leftrightarrow a=-3\)(thỏa mãn (*))
Vậy M(-3;4)là điểm cần tìm