YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x(y2 + z2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
\(P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Nhật Minh

    Ta có
    \((y+z)^2\leq 2(y^2+z^2)\Leftrightarrow x(y+z)^2\leq 2x(y^2+z^2)=2(y+z) \ (1)\)
    \(\Rightarrow y+z\leq \frac{2}{x}\)
    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
    \(P\geq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2}{(1+y)(1+z)}+\frac{4}{(1+y)(1+z)(1+x)}\)
    Mặt khác:
    \((1+y)(1+z)\leq \frac{(2+y+z)^2}{4}\leq \frac{1}{4}(2+\frac{2}{x})^2=\frac{(1+x)^2}{x^2}\)
    \(\Rightarrow P\leq \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2x^2}{(1+x)^2}+\frac{4x^2}{(1+x)^3} =\frac{2x^3+6x^2+x+1}{(1+x)^2}\)
    Xét hàm số 
    \(f(x)=\frac{2x^3+6x^2+x+1}{(1+x)^3}\Rightarrow f'(x)=\frac{10x-2}{(1+x)^4}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)
    BBT: 

     Từ bảng biến thiên ta có: \(P\geq f(x)\geq f(\frac{1}{5})=\frac{91}{108}\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\frac{91}{108}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}\\ y=z=5 \end{matrix}\right.\)

      bởi Lê Nhật Minh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF