Điểm \(M\) gọi là chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) nếu \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \). Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(A\) chia đoạn thẳng \(MB\) theo tỉ số nào? \(B\) chia đoạn thẳng \(MA\) theo tỉ lệ nào?

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số  \(k\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} )\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB}
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow  \overrightarrow {AM}  = \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,A\) chia đoạn thẳng MB theo tỉ số \(\dfrac{k}{{k - 1}}\).

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\)

\(\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  =  - k\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BM}  \\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {BA} \,\end{array}\)

\( \Leftrightarrow B\) chia đoạn thẳng MA theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - k}}\)