Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x(x^{2}-3x+3)}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{y+3}+1

\(\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x(x^{2}-3x+3)}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{y+3}+1\; (1)\\ 3\sqrt{x-1}-\sqrt{x^{2}-6x+6}=\sqrt[3]{y+2}+1\; \; \; \; \; \; \; \; (2) \end{matrix}\right.(x,y \in R)\)

Điều kiện: \(1\leq x\leq 3-\sqrt{3};x\geq 3+\sqrt{3};y\geq -3\)

\((1)\Leftrightarrow x-1+\sqrt{(x-1)^{3}+1}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{(\sqrt[3]{y+2})^{3}+1}\)

Xét hàm số \(f(t)=t+\sqrt{t^{3}+1},t\geq -1.\) Ta có \(f'(t)=1+\frac{3t^{2}}{2\sqrt{t^{3}+1}}>0 \; \forall t>-1,\) suy ra f(t) đồng biến \(\forall t \geq -1,\) suy ra \(x-1=\sqrt[3]{y+2}\)

Thay vào (2) ta có 

\(3\sqrt{x-1}-\sqrt{x^{2}-6x+6}=(x-1)+1\)
\(\Leftrightarrow (x-1)+1=\sqrt{(x-1)^{2}-4(x-1)+1}=3\sqrt{x-1}\)

Do x = 1 không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho \(\sqrt{x-1}>0\) ta được:

\(\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-1-4+\frac{1}{x-1}}=3\)

Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}>2\Rightarrow t+\sqrt{t^{2}-6}=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{t^{2}-6}=3-t\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\leq 3\\ t^{2}-6=(3-t)^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}.\)

Với \(t=\frac{5}{2}\Rightarrow \sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac{5}{2}\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \sqrt{x-1}=2\\ \sqrt{x-1}=\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=5\Rightarrow y=62\\ x=\frac{5}{4}\Rightarrow y=-\frac{127}{64} \end{matrix}\)

Đáp số: \((x;y)=(5;62),(\frac{5}{4};-\frac{127}{64})\)