Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chuyên Toán Sở GD & ĐT Thái Bình năm học 2018 - 2019

Cho biểu thức:

      \(P = \left( {\frac{{x - 4}}{{x - 3\sqrt x  + 2}} + 1} \right):\frac{1}{{2x - 3\sqrt x  + 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne \frac{1}{4};x \ne 1;x \ne 4\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x sao cho P = 2019.

c)   Với \(x \ge 5\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = P + \frac{{10}}{x}\).

Cho hai đường thẳng (d₁): \(y = mx + m\) và (d₂): \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{1}{m}\) (với m là tham số, \(m \ne 0\)). Gọi \(I({x_0};{y_0})\) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d₁) với (d₂). Tính \(T = x_0^2 + y_0^2\).

Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} + (2 - m)x - 1 - m = 0\) (m là tham số).

a)   Tìm m để \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

b)  Tìm m sao cho \(T = \frac{1}{{{{({x_1} + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{({x_2} + 1)}^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

a)   Giải phương trình: \(\sqrt {4x + 8072}  + \sqrt {9x + 18162}  = 5\).

b)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 6x - 3y + 4 = 0\\
{x^2} + {y^2} - 3x = 1
\end{array} \right.\)

Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO.

a)   Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK.

b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a.

c)   JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r.

d)  Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: \(12x + 10y + 15z \le 60\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - z\).