YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Xét các số phức \({{z}_{1}}=1+i,{{z}_{2}}=1-3i,{{z}_{3}}=4+i\) và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức \({{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}\) mà \(\frac{{{z}_{4}}-{{z}_{2}}}{{{z}_{4}}-{{z}_{3}}},\frac{{{z}_{5}}-{{z}_{3}}}{{{z}_{5}}-{{z}_{1}}},\frac{{{z}_{6}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{6}}-{{z}_{2}}}\) là các số thực, còn \(\frac{z-{{z}_{4}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{3}}},\frac{z-{{z}_{5}}}{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}},\frac{z-{{z}_{6}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}\) thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T={{\left| z-{{z}_{4}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{5}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{6}} \right|}^{2}}.\)

    • A. \(\frac{{72}}{5}.\)
    • B. 3
    • C. \(\frac{{72}}{{25}}.\)
    • D. \(\frac{{18}}{{25}}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Gọi A(1;1),B(1;-3),C(4;1) là các điểm biểu diễn của \({{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}\) và M là điểm biểu diễn của z.

    Từ đó, ta thấy nếu gọi H,K,L là điểm biểu diễn của \({{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}\) thì H,K,L chính là hình chiếu của M lên các cạnh BC,CA,AB. Ta cần tìm \(\min (M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}}).\) Ta có

    \(({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})(M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}+M{{L}^{2}})\ge {{(aMH+bMK+cML)}^{2}}\ge 4S_{ABC}^{2}\) nên

    \(T\ge \frac{4S_{ABC}^{2}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{4\cdot {{6}^{2}}}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\frac{72}{25}.\)

    trong đó BC=a=5,CA=b=3,AB=c=4. Đẳng thức xảy ra khi

    \(\frac{MH}{a}=\frac{MK}{b}=\frac{ML}{c}\Rightarrow \frac{{{S}_{MBC}}}{{{a}^{2}}}=\frac{{{S}_{MCA}}}{{{b}^{2}}}=\frac{{{S}_{MAB}}}{{{c}^{2}}}\) và M nằm trong tam giác.

    Từ đó dễ thấy M tồn tại nên z cũng tồn tại và \({{T}_{\min }}=\frac{72}{25}.\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 268007

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF