Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC , biết \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {5;1; - 2} \right),C\left( {7;9;1} \right)\). Tính độ dài đường phân giác trong AD của góc A.

\(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {5;1; - 2} \right),C\left( {7;9;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {4;0; - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {6;8;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = 5,\,\,AC = 10\)

Tam giác ABC có AD là phân giác của góc A \( \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2},\,\,D\) nằm giữa B và C.

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BD}  =  - \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {{x_D} - 5} \right) =  - {x_D} + 7\\2.\left( {{y_D} - 1} \right) =  - {y_D} + 9\\2.\left( {{z_D} + 2} \right) =  - {z_D} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = \dfrac{{17}}{3}\\{y_D} = \dfrac{{11}}{3}\\{z_D} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{11}}{3}; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{8}{3}; - 2} \right) \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{14}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{8}{3}} \right)}^2} + {2^2}}  = \dfrac{2}{3}\sqrt {74} \).

Chọn: D