Trên tập số phức, xét phương trình \({{z}^{2}}+\text{ }az+b\text{ }=\text{ }0\text{ }\left( a,\text{ }b\text{ }\in \text{ }R \right)\). Có bao nhiêu cặp số (a;b) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn \[(left| {{z}_{1}}\text{ }\text{ }2 \right|\text{ }=\text{ }2\) và \(\left| {{z}_{2}}\text{ }+1-4i \right|\text{ }=\text{ }4\)?

Chọn D

Ta có   \(\Delta  = {a^2} - 4b\)

TH1.  \(\Delta  > 0 \Rightarrow {z_1},{z_2} \in ℝ \)

\(\left| {{z_1} - 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z_1} - 2 = 2\\
{z_1} - 2 =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z_1} = 4\\
{z_1} = 0
\end{array} \right.\)

\(\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {{z_2} + 1} \right)^2} + 16 = 16 \Leftrightarrow {z_2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z_2} =  - 1.\)

Với \({z_1} = 4,{z_2} =  - 1\) có  \(\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {{z_2} + 1} \right)^2} + 16 = 16 \Leftrightarrow {z_2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z_2} =  - 1.\)

Với \({z_1} = 0,{z_2} =  - 1\) có  \(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} =  - a\\
{z_1}{z_2} = b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\\
b = 0\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy TH1 có 2 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

TH2.  \(\Delta  < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{z_1} = x + yi\\
{z_2} = x - yi
\end{array} \right.\)

Vì  \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1} - 2} \right| = 2\\
\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + yi - 2} \right| = 2\\
\left| {x - yi + 1 - 4i} \right| = 4
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4\\
{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 4x = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
{x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:  \(6x + 8y + 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{{ - 6x - 1}}{8}\)

\( \Rightarrow {x^2} + {\left( {\frac{{6x + 1}}{8}} \right)^2} - 4x = 0\)

\( \Leftrightarrow 100{x^2} - 244x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{61 + 4\sqrt {231} }}{{50}}\\
{x_2} = \frac{{61 - 4\sqrt {231} }}{{50}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = \frac{{ - 416 - 24\sqrt {231} }}{{400}}\\
{y_2} = \frac{{ - 416 + 24\sqrt {231} }}{{400}}
\end{array} \right.\)

Vậy TH2 có 2 cặp số (a, b) thỏa mãn.

Vậy có 4 cặp số (a, b) thỏa mãn.