Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y sao cho ứng với mỗi y, tồn tại duy nhất một giá trị \(x\in \left[ \frac{3}{2};\frac{9}{2} \right]\) thỏa mãn \(lo{{g}_{3}}\left( {{x}^{3}}6{{x}^{2}}+\text{ }9x+\text{ }y \right)=lo{{g}_{2}}\left( -\text{ }{{x}^{2}}+6x5 \right)\). Số phần tử của S là

Chọn C

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} \right) - {\log _2}\left( { - {x^2} + 6x - 5} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 12x + 9}}{{\left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} \right)\ln 3}} + \frac{{2x - 6}}{{\left( { - {x^2} + 6x - 5} \right)\ln 2}}\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left[ {\frac{{3x - 3}}{{\left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + y} \right)\ln 3}} + \frac{2}{{\left( { - {x^2} + 6x - 5} \right)\ln 2}}} \right]\)

Xét trên tập \(x \in \left[ {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right]\) thì ta dễ thấy

\(f'\left( x \right) > 0\) với  x > 3.

 \(f'\left( x \right) < 0\) với  x < 3.

Nếu x = 3 thỏa mãn điều kiện.

Ta có  \(f\left( 3 \right) = {\log _3}y - 2;f\left( {\frac{3}{2}} \right) = {\log _3}\left( {\frac{{27}}{8} + y} \right) - {\log _2}\frac{7}{4}\);  

\(f\left( {\frac{9}{2}} \right) = {\log _3}\left( {\frac{{81}}{8} + y} \right) - {\log _2}\frac{7}{4}\)

TH1. \(f\left( 3 \right) > 0 \Leftrightarrow y > 9 \Rightarrow \)  Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.

TH2. \(f\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow y = 9 \Rightarrow \)  Phương trình có nghiệm duy nhất  x = 3.

TH3. \(f\left( 3 \right) < 0\) hoặc x = 3 không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( {\frac{3}{2}} \right) < 0\\
f\left( {\frac{9}{2}} \right) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _3}\left( {\frac{{27}}{8} + y} \right) < {\log _2}\frac{7}{4}\\
{\log _3}\left( {\frac{{81}}{8} + y} \right) \ge {\log _2}\frac{7}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow  - 7,7 < y <  - 0,9\)

Do y nguyên \( \Rightarrow y \in \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}.\)

Vậy số phần tử của S là  8.