Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)

Điều kiện: \(z \ne 0\)  

Khi đó: 

\(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i \Rightarrow \overline z = \left( {\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i} \right)z \)

\(\Rightarrow 5\overline z = (3 - 4i)z\) 

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\)

\((a,b \in\mathbb{R} ,\,\,{a^2} + {b^2} \ne 0)\)  

Suy ra: \(5(a - bi) = (3 - 4i)(a + bi) \)

\(\Leftrightarrow 5a - 5bi = (3a + 4b) + (3b - 4a)i \)

\(\Leftrightarrow a = 2b\,(1)\)

Do \(\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5\,(2)\)   

Từ (1),(2) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i\\ \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = - 2 - i \end{array} \right.\)