Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng biết alpha: 3x-2y+z+6=0 và điểm A(2;-1;0)

\((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \((\alpha )\) ta có:

d có vectơ chỉ phương: \(\vec{u}_{d}=\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\) và đi qua A(2;-1;0)

\(\Rightarrow\) phương trình của \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 2t\\ z = t \end{array} \right.\)

Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 2t\\ z = t\\ 3x - 2y + z + 6 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow 3(2+3t)-2(-1-2t)+t+6=0 \Leftrightarrow t=1\)

\(\Rightarrow H( - 1;1; - 1)\)