Tìm M nằm trên (P) sao cho MA^2 + MB^2 nhỏ nhất biết A(1;2;2) B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0

Gọi điểm I(x;y;z) thỏa \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 0\) thì I là trung điểm của AB và \(I(3;3;3)\)

Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} )^2} + {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2}\)

\(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} )\)

\(= I{A^2} + I{B^2} + 2M{I^2}\)

\(IA^2 + IB^2\) không thay đổi nên MA² + MB² nhỏ nhất khi MI² có giá trị nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

(P) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(P)}=(2;1;-1)\)

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Ta có phương trình của d là:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\)

M là nghiệm hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = 3 + t\\ z = 3 - t\\ 2x + y - z + 6 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow t = 2 \Rightarrow M( - 1;1;5)\)