Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y = frac{{sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} có ba tiệm cận gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \sqrt m\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = - \sqrt m .\)

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi m>0  

Khi  \(x=-2\Rightarrow \sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} = \sqrt {1 - 2m}\)
Với \(m < \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} > 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x=-2

Với \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} = 0\) ta phải thử với trường hợp \(m=\frac{1}{2}\)

\(m = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x + 2}}.\)

Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi \(x \to - {2^ - }\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}{{x + 2}}\)

\(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( { - \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} } \right) = - \infty\)

Từ đó với \(m=\frac{1}{2}\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  \(x=-2\)

Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận khi \(0 < m \le \frac{1}{2}\).